Question

11．判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）=$\frac{1}{x-1}$；
（2）f（x）=-3x²+1；
（3）f（x）=$\frac{\sqrt{1-x}•\sqrt{1+x}}{|x+2|-2}$；
（4）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x＞0}\\{1，x=0}\\{-x+1，x＜0}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的定义分别进行判断即可．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{1}{x-1}$的定义域为{x|x≠1}，定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数．
（2）∵f（-x）=-3x²+1=f（x），∴函数f（x）为偶函数；
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{1-x≥0}\\{1+x≥0}\\{|x+2|-2≠0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x≤1}\\{x≥-1}\\{|x+2|-2≠0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{x≠0}\end{array}\right.$，解得-1≤x＜0或0＜x≤1，
此时f（x）=$\frac{\sqrt{1-x}•\sqrt{1+x}}{|x+2|-2}$=$\frac{\sqrt{1-x}•\sqrt{1+x}}{x+2-2}$=$\frac{\sqrt{1-x}•\sqrt{1+x}}{x}$，
则f（-x）=$\frac{\sqrt{1+x}•\sqrt{1-x}}{-x}$=-$\frac{\sqrt{1-x}•\sqrt{1+x}}{x}$=-f（x），
则函数f（x）为奇函数．
（4）∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x＞0}\\{1，x=0}\\{-x+1，x＜0}\end{array}\right.$．
∴当x＜0时，-x＞0，则f（-x）=-x+1=f（x），
当x＞0时，-x＜0，则f（-x）=-（-x）+1=x+1=f（x），
综上恒有f（-x）=f（x），即函数为偶函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，结合函数的定义域以及函数奇偶性的定义是解决本题的关键．