Question

2．已知$\overrightarrow{a}$=（sinωx，sin（ωx-$\frac{π}{4}$）），$\overrightarrow{b}$=（sinωx+2$\sqrt{3}$cosωx，sin（ωx+$\frac{π}{4}$）），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，函数g（x）=f（x）-$\frac{5}{2}$的任意两个相邻零点间的距离为π，其中ω为正常数．
（1）求ω的值；
（2）若x=x₀（0≤x≤$\frac{π}{2}$）是函数f（x）的一个零点，求sin2x₀的值．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=sinωx（sinωx+2$\sqrt{3}$cosωx）+sin（ωx-$\frac{π}{4}$）sin（ωx+$\frac{π}{4}$），利用倍角公式、和差公式化简整理可得f（x）=$2sin（2ωx-\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$．函数g（x）=f（x）-$\frac{5}{2}$=$2sin（2ωx-\frac{π}{6}）$-2．根据g（x）的任意两个相邻零点间的距离为π，其中ω为正常数．可得$\frac{2π}{2ω}$=π，解得ω=1．
（2）由（1）可得：f（x）=$2sin（2x-\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$．由x=x₀（0≤x≤$\frac{π}{2}$）是函数f（x）的一个零点，可得$sin（2{x}_{0}-\frac{π}{6}）$=-$\frac{1}{4}$．由于≤x₀≤$\frac{π}{2}$，可得$-\frac{π}{6}$≤2x₀-$\frac{π}{6}$＜0.$cos（2{x}_{0}-\frac{π}{6}）$=$\sqrt{1-si{n}^{2}（2{x}_{0}-\frac{π}{6}）}$．因此sin2x₀=$sin[（2{x}_{0}-\frac{π}{6}）+\frac{π}{6}]$．

解答 解：（1）函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=sinωx（sinωx+2$\sqrt{3}$cosωx）+sin（ωx-$\frac{π}{4}$）sin（ωx+$\frac{π}{4}$）
=sin²ωx+$\sqrt{3}sin2ωx$+$sin（ωx-\frac{π}{4}）cos（ωx-\frac{π}{4}）$
=$\frac{1-cos2ωx}{2}$+$\sqrt{3}$sin2ωx+$\frac{1}{2}sin（2ωx-\frac{π}{2}）$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2ωx$+$\sqrt{3}$sin2ωx-$\frac{1}{2}cos2ωx$
=$\sqrt{3}sin2ωx$-cos2ωx+$\frac{1}{2}$
=$2sin（2ωx-\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$．
函数g（x）=f（x）-$\frac{5}{2}$=$2sin（2ωx-\frac{π}{6}）$-2．
∵g（x）的任意两个相邻零点间的距离为π，其中ω为正常数．
∴$\frac{2π}{2ω}$=π，解得ω=1．
（2）由（1）可得：f（x）=$2sin（2x-\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$．
∵x=x₀（0≤x≤$\frac{π}{2}$）是函数f（x）的一个零点，
∴$2sin（2{x}_{0}-\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$=0，
∴$sin（2{x}_{0}-\frac{π}{6}）$=-$\frac{1}{4}$．
∵0≤x₀≤$\frac{π}{2}$，∴$-\frac{π}{6}$≤2x₀-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$．∴$-\frac{π}{6}$≤2x₀-$\frac{π}{6}$＜0．
∴$cos（2{x}_{0}-\frac{π}{6}）$=$\sqrt{1-si{n}^{2}（2{x}_{0}-\frac{π}{6}）}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
∴sin2x₀=$sin[（2{x}_{0}-\frac{π}{6}）+\frac{π}{6}]$=$sin（2{x}_{0}-\frac{π}{6}）cos\frac{π}{6}$+$cos（2{x}_{0}-\frac{π}{6}）$$sin\frac{π}{6}$
=$-\frac{1}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{15}}{4}×\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、数量积运算性质、和差公式与倍角公式、条件三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．