Question

7．如图，圆O的内接△ABC中，M是BC的中点，AC=3，AB=$\sqrt{7}$，则$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AM}$=4．

Answer 1

分析 如图所示，分别取AB，AC的中点D，E，连接OD，OE，利用“垂经定理”的推论可得OD⊥AB，OE⊥AC．于是$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}$，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AC}}^{2}$．由M是BC的中点，
可得$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$．即可得出．

解答 解：如图所示，分别取AB，AC的中点D，E，连接OD，OE，
则OD⊥AB，OE⊥AC．
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}$=$\frac{1}{2}×（\sqrt{7}）^{2}$=$\frac{7}{2}$，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AC}}^{2}$=$\frac{1}{2}×{3}^{2}$=$\frac{9}{2}$．
∵M是BC的中点，
∴$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$．
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AO}•\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}$$+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}×（\frac{7}{2}+\frac{9}{2}）$=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了“垂经定理”的推论、向量的数量积运算性质、向量的平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．