Question

15．已知集合A={x|$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$}，函数f（x）=4sin²（$\frac{π}{4}$+x）-2$\sqrt{3}$cos2x-1，x∈A，求f（x）的最大值及最小值．

Answer 1

分析 由三角函数公式化简可得f（x）=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，由$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$结合不等式的性质和三角函数可得最值．

解答 解：由三角函数公式化简可得f（x）=4sin²（$\frac{π}{4}$+x）-2$\sqrt{3}$cos2x-1
=4×$\frac{1-cos（\frac{π}{2}+2x）}{2}$-2$\sqrt{3}$cos2x-1=2sin2x-2$\sqrt{3}$cos2x+1
=4（$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）+1=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1
∵$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{3}$）≤1，
∴3≤4sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1≤5，
∴f（x）的最大值为5，最小值为3

点评 本题考查三角函数的最值，涉及和差角的三角函数，属基础题．