Question

4．已知函数f（x）=x³-3ax²+3bx，其中b＞0．
（1）若函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，求证：a≤$\sqrt{b}$；
（2）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=4x-1，试求a、b的值．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，问题转化为3（x-a）²+3b-3a²≥0在（0，+∞）恒成立，解出即可；
（2）先求出f（1）=3，斜率k=f′（1）=4，联立方程组解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-6ax+3b，
若函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
则f′（x）=3（x-a）²+3b-3a²≥0在（0，+∞）恒成立，
∴3b-3a²≥0，解得：a≤$\sqrt{b}$；
（2）函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=4x-1即y-3=4（x-1），
∴f（1）=3，斜率k=4，
f′（x）=3x²-6ax+3b，
f′（1）=3-6a+3b=4①，
f（1）=1-3a+3b=3②，
由①②得：a=$\frac{1}{6}$，b=$\frac{5}{6}$．

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用，是一道中档题．