Question

5．如图，在△ABC中，已知P为线段AB上一点，且$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$．
（1）若$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{PB}$，求x，y的值；
（2）若$\overrightarrow{AP}$=3$\overrightarrow{PB}$，|$\overrightarrow{OA}$|=4，|$\overrightarrow{OB}$|=2，且$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为60°，求$\overrightarrow{OP}$$•\overrightarrow{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）由于P为线段AB上一点，且$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$．利用向量共线定理可得：x+y=1，由于$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{PB}$，可得P为线段AB的中点，因此x=y，即可解出．
（2）由$\overrightarrow{AP}$=3$\overrightarrow{PB}$，可得$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}$=$3（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}）$，化为$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{OB}$．由于|$\overrightarrow{OA}$|=4，|$\overrightarrow{OB}$|=2，且$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为60°，可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$．于是$\overrightarrow{OP}$$•\overrightarrow{AB}$=$（\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{OB}）$•$（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$，展开代入即可得出．

解答 解：（1）∵P为线段AB上一点，且$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$．
∴x+y=1，
∵$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{PB}$，∴P为线段AB的中点，
∴x=y=$\frac{1}{2}$．
（2）∵$\overrightarrow{AP}$=3$\overrightarrow{PB}$，∴$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}$=$3（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}）$，化为$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{OB}$．
∵|$\overrightarrow{OA}$|=4，|$\overrightarrow{OB}$|=2，且$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$的夹角为60°，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=4×2×cos60°=4．
∴$\overrightarrow{OP}$$•\overrightarrow{AB}$=$（\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{4}\overrightarrow{OB}）$•$（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$=$\frac{3}{4}{\overrightarrow{OB}}^{2}$-$\frac{1}{4}{\overrightarrow{OA}}^{2}$-$\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=$\frac{3}{4}×{2}^{2}$-$\frac{1}{4}×{4}^{2}$-$\frac{1}{2}×4$=-3．

点评 本题考查了数量积的运算性质、向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．