Question

14．设方程x²+kx+2=0的两实根为p，q，若（$\frac{p}{q}$）²+（$\frac{q}{p}$）²≤7成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 根据方程得出p+q=-k，①；pq=2，②化简得出$\frac{p}{q}$$+\frac{q}{p}$=$\frac{{k}^{2}}{2}$-2，③再次平方即可得出：（$\frac{p}{q}$）²+（$\frac{q}{p}$）²=（$\frac{{k}^{2}}{2}$-2）²-2，把不等式恒成立转化为（$\frac{{k}^{2}}{2}$-2）²-2≤7．求解结合△≥0即可得到答案．

解答 解：∵方程x²+kx+2=0的两实根为p，q，
∴p+q=-k，①
pq=2，②
$\frac{{①}^{2}}{②}$即可得出$\frac{p}{q}$$+\frac{q}{p}$=$\frac{{k}^{2}}{2}$-2，③
③²得出：（$\frac{p}{q}$）²+（$\frac{q}{p}$）²=（$\frac{{k}^{2}}{2}$-2）²-2，
∵（$\frac{p}{q}$）²+（$\frac{q}{p}$）²≤7成立．
∴只需（$\frac{{k}^{2}}{2}$-2）²-2≤7．
即（$\frac{{k}^{2}}{2}$-2）²≤9．
求解得出-$\sqrt{10}$$≤k≤\sqrt{10}$．
又由△=k²-8≥0得：k≤-2$\sqrt{2}$，或k≥2$\sqrt{2}$，
综上可得：k∈$（-\sqrt{10}，-2\sqrt{2}]∪[2\sqrt{2}，\sqrt{10}）$

点评 本题考查了二次方程根与系数的关系，整体化简的能力，不等式恒成立转化的能力，属于难题．