Question

4．已知函数f（x）=|x-1|-1，g（x）=-4-|x+1|．
（1）若函数f（x）的值不小于2，求x的取值范围；
（2）若对?x∈R，都有f（x）-t≥g（x）恒成立，试求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值不等式的解法进行求解即可；
（2）利用参数分离法，结合绝对值的解法进行求解即可．

解答 解：（1）若函数f（x）的值不小于2，
则f（x）=|x-1|-1≥2，
即|x-1|≥3，
则x-1≥3或x-1≤-3，
即x≥4或x≤-2，
即x的取值范围是（-∞，-2]∪[4，+∞）；
（2）f（x）-t≥g（x）恒成立，
即|x-1|-1-t≥-4-|x+1|恒成立，
即|x-1|+|x+1|+3≥t，
∵|x-1|+|x+1|≥|x-1-x-1|=2，
∴|x-1|+|x+1|+3≥2+3=5，
∴t≤5．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用绝对值不等式的解法是解决本题的关键．