Question

16．若f（x）为一次函数，且f（x）=x+2${∫}_{0}^{1}$f（t）dt，则f（x）=x-1．

Answer 1

分析 根据题意设f（x）=x+b，然后建立等式b=2∫₀¹（x+b）dx，最后利用定积分的定义进行求解，求出b即可．

解答 解：∵f（x）为一次函数，且f（x）=x+2${∫}_{0}^{1}$f（t）dt，
∴设f（x）=x+b
则b=2∫₀¹（x+b）dx=2（$\frac{1}{2}$x²+bx）|₀¹=2（$\frac{1}{2}$+b）
解得：b=-1
∴f（x）=x-1
故答案为：x-1．

点评 本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，以及待定系数法的应用，属于基础题．