Question

6．已知在△ABC中，AB=2，BC=4，AC=3，若△ABC的内心为I，则$\overrightarrow{IA}$•$\overrightarrow{BC}$=-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 运用余弦定理和面积公式，可得内切圆的半径r，再由二倍角公式可得sin$\frac{∠BAC}{2}$，tan$\frac{∠BAC}{2}$，再由向量的加减运算和数量积的几何意义，计算即可得到所求值．

解答 解：设内切圆I与AB，AC相切于D，E，
在△ABC中，由余弦定理可得cos∠BAC=$\frac{{2}^{2}+{3}^{2}-{4}^{2}}{2×2×3}$
=-$\frac{1}{4}$，
由cosA=2cos²$\frac{∠BAC}{2}$-1，可得cos$\frac{∠BAC}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
则sin$\frac{∠BAC}{2}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，tan$\frac{∠BAC}{2}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
由sin∠BAC=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
可得△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$×2×3×$\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$，
设内切圆的半径为r，则$\frac{1}{2}$×（2+3+4）r=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$，
解得r=$\frac{\sqrt{15}}{6}$．
则$\overrightarrow{IA}$•$\overrightarrow{BC}$=-$\overrightarrow{AI}$•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\overrightarrow{AI}$$•\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AI}$•$\overrightarrow{AC}$
=AD•AB-AE•AC=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{6}}{\frac{\sqrt{15}}{3}}$×2-$\frac{\frac{\sqrt{15}}{6}}{\frac{\sqrt{15}}{3}}$×3=-$\frac{1}{2}$．
故答案为：-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查向量的数量积的定义，考查余弦定理和面积公式的运用，同时考查三角函数的恒等变换，属于中档题．