Question

10．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{2}$coswx，1），$\overrightarrow{b}$=（2sin（wx+$\frac{π}{4}$），-1）（其中$\frac{1}{4}$≤w≤$\frac{3}{2}$），函数f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，且f（x）图象的一条对称轴为x=$\frac{5π}{8}$，求f（$\frac{3π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 f（x）=$2\sqrt{2}cosωxsin（ωx+\frac{π}{4}）$-1=$\sqrt{2}sin（2ωx+\frac{π}{4}）$，由于f（x）图象的一条对称轴为x=$\frac{5π}{8}$，可得$sin（2ω×\frac{5π}{8}+\frac{π}{4}）$=±1，因此$\frac{5π}{4}ω$+$\frac{π}{4}$=$kπ+\frac{π}{2}$，（k∈Z），由于$\frac{1}{4}$≤w≤$\frac{3}{2}$，可得ω=1，即可得出．

解答 解：f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$2\sqrt{2}cosωxsin（ωx+\frac{π}{4}）$-1
=$2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$cosωx（sinωx+cosωx）-1
=sin2ωx+cos2ωx
=$\sqrt{2}sin（2ωx+\frac{π}{4}）$，
∵f（x）图象的一条对称轴为x=$\frac{5π}{8}$，
∴$sin（2ω×\frac{5π}{8}+\frac{π}{4}）$=±1，
∴$\frac{5π}{4}ω$+$\frac{π}{4}$=$kπ+\frac{π}{2}$，（k∈Z）．
∴ω=$\frac{4k+1}{5}$．
∵$\frac{1}{4}$≤w≤$\frac{3}{2}$，
∴取k=1时，ω=1满足条件．
∴f（x）=$\sqrt{2}$$sin（2x+\frac{π}{4}）$．
∴f（$\frac{3π}{4}$）=$\sqrt{2}sin（2×\frac{3π}{4}+\frac{π}{4}）$=-$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=-1．

点评 本题考查了向量数量积的运算性质、三角函数的图象与性质、和差公式与倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．