Question

17．已知|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=4，且$\overrightarrow{a}$⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），则向量a与向量b的夹角为30°．

Answer 1

分析 通过向量的垂直转化为向量的数量积的运算，求出角的大小即可．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=4，且$\overrightarrow{a}$⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），
∴$\overrightarrow{a}$•（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=2$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2|$\overrightarrow{a}$|²-|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=6-4$\sqrt{3}$cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=0，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=30°，
故答案为：30°

点评 本题考查向量的数量积的运算，向量的垂直体积的应用，考查计算能力．