Question

5．点M是单位圆O（O是坐标原点）与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠MOP=x（0＜x＜π），$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OM}$，四边形OMQP的面积为S，函数$f（x）=\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{OQ}+\sqrt{3}S$．
（1）求函数f（x）的取值范围；
（2）若f（x）=$\frac{3}{2}$，求cosx的值．

Answer 1

分析 （1）由题意，|$\overrightarrow{OQ}$|=$\sqrt{（1+cosx）^{2}+si{n}^{2}x}$，化简得|$\overrightarrow{OQ}$|=2|cos$\frac{1}{2}$x|，从而得到$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OQ}$=2cos²$\frac{1}{2}$x=1+cosx；四边形OMQP的面积S=|$\overrightarrow{OM}$|•|$\overrightarrow{OP}$|sin∠POM=sinx．代入题中的表达式并化简整理，得f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+1，由正弦函数的性质，即可得到所求范围；
（2）通过x的范围，求得cos（x+$\frac{π}{6}$），再由cosx=cos[（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]，运用两角差的余弦公式，计算即可得到．

解答 解：（1）由题意，得M（1，0），P（cosx，sinx），
∴$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{OP}$=（1+cosx，sinx），
得四边形OMQP的面积S=|$\overrightarrow{OM}$|•|$\overrightarrow{OP}$|sin∠POM=sinx，
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OQ}$=|$\overrightarrow{OM}$|•|$\overrightarrow{OQ}$|cos∠QOM=1×$\sqrt{（1+cosx）^{2}+si{n}^{2}x}$×cos$\frac{x}{2}$
而$\sqrt{（1+cosx）^{2}+si{n}^{2}x}$=$\sqrt{2+2cosx}$=$\sqrt{2+2（2co{s}^{2}\frac{x}{2}-1）}$=2|cos$\frac{x}{2}$|
∵0＜$\frac{1}{2}$x＜$\frac{π}{2}$，得cos$\frac{1}{2}$x是正数，
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{OQ}$=2cos²$\frac{1}{2}$x=1+cosx，
因此，函数$f（x）=\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{OQ}+\sqrt{3}S$
=1+cosx+$\sqrt{3}$sinx=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+1，
即函数f（x）的表达式为y=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+1，0＜x＜π，
由x+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），即有sin（x+$\frac{π}{6}$）∈（-$\frac{1}{2}$，1]，
即有函数f（x）的取值范围为（0，3]；
（2）f（x）=$\frac{3}{2}$，即有sin（x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{4}$，
由于0＜sin（x+$\frac{π}{6}$）＜$\frac{1}{4}$$＜\frac{1}{2}$，则x∈（$\frac{π}{2}$，π），
即有cos（x+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
则cosx=cos[（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=cos（x+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$+sin（x+$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$
=-$\frac{\sqrt{15}}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1-3\sqrt{5}}{8}$．

点评 本题给出单位圆中的向量，求四边形面积和向量的数量积，并求与之相关的三角函数的值域．着重考查了平面向量的数量积、三角恒等变换等知识点，属于中档题．