Question

15．已知f（x）=2cosx•sin（x+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$sinx•cosx-sin²x．
（1）求函数y=f（x）（0＜x＜π）的单调递增区间；
（2）设△ABC的内角A满足f（A）=2，而$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$\sqrt{3}$，求BC边上的高AD长的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用“和差公式”、倍角公式可得f（x）=2$sin（2x+\frac{π}{6}）$，再利用三角函数的单调性即可得出；
（2）由f（A）=2，可得$2sin（2A+\frac{π}{6}）$=2，A∈（0，π）．解得A=$\frac{π}{6}$．由于$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$\sqrt{3}$，可得bc=2．利用余弦定理可得：a²=${b}^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{π}{6}$，再利用基本不等式的性质可得：$a≥\sqrt{3}-1$，利用S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}ah$，即可得出．

解答 解：（1）f（x）=2cosx•sin（x+$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{3}$sinx•cosx-sin²x
=2cosx•$（\frac{\sqrt{3}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx）$+$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$-sin²x
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2$sin（2x+\frac{π}{6}）$．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，
化为kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
又0＜x＜π，
∴函数y=f（x）的单调递增区间为$（0，\frac{π}{6}]$，$[\frac{2}{3}π，π）$；
（2）由f（A）=2，
∴$2sin（2A+\frac{π}{6}）$=2，A∈（0，π）．
∴$2A+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
解得A=$\frac{π}{6}$．
而$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$\sqrt{3}$，
∴cb$cos\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}$，
化为bc=2．
由余弦定理可得：a²=${b}^{2}+{c}^{2}-2bccos\frac{π}{6}$=2bc-2$\sqrt{3}$≥4-2$\sqrt{3}$．
∴$a≥\sqrt{3}-1$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}ah$，
∴h=$\frac{1}{a}$≤$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
∴BC边上的高AD长的最大值为$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

点评 本题考查了“和差公式”、倍角公式、三角函数的单调性、余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．