Question

4．有一个正方体木块，其六个面均涂有油漆，现将这个正方体木块切割成大小相等的27个小正方体木块．
（1）若从这些小正方体中连续不放回地抽选4个小正方体，求至少有两个小正方体涂有油漆的概率；
（2）若从这些小正方体中随机抽选2个，记X为小正方体涂有油漆的面的总数，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）据题意，在得到的27个小正方体中，涂有油漆的有26块，没有涂有油漆的有1块，由此能求出至少有两个小正方体涂有油漆的概率．
（2）由已知条件求出X的可能取值为1，2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．

解答 解：（1）据题意，在得到的27个小正方体中，
3面涂有油漆，有8块，2面涂有油漆的有12块，1面涂有油漆的有6块，没有涂有油漆的有1块，
∴从这些小正方体中连续不放回地抽选4个小正方体，
至少有两个小正方体涂有油漆的概率为1．
（2）∵在得到的27个小正方体中，
3面涂有油漆，有8块，2面涂有油漆的有12块，1面涂有油漆的有6块，没有涂有油漆的有1块，
∴从这些小正方体中随机抽选2个，记X为小正方体涂有油漆的面的总数，则X的可能取值为1，2，3，4，5，6，
P（X=1）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{6}^{1}}{{C}_{27}^{2}}$=$\frac{6}{351}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{12}^{1}+{C}_{6}^{2}}{{C}_{27}^{2}}$=$\frac{27}{351}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{1}^{1}{C}_{8}^{1}+{C}_{6}^{1}{C}_{12}^{1}}{{C}_{27}^{2}}$=$\frac{80}{351}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{8}^{1}+{C}_{12}^{2}}{{C}_{27}^{2}}$=$\frac{114}{351}$，
P（X=5）=$\frac{{C}_{12}^{1}{C}_{8}^{1}}{{C}_{27}^{2}}$=$\frac{96}{351}$，
P（X=6）=$\frac{{C}_{8}^{2}}{{C}_{27}^{2}}$=$\frac{28}{351}$，
∴X的分布列为：

X	1	2	3	4	5	6
P	$\frac{6}{351}$	$\frac{27}{351}$	$\frac{80}{351}$	$\frac{114}{351}$	$\frac{96}{351}$	$\frac{28}{351}$

数学期望EX=$1×\frac{6}{351}+2×\frac{27}{351}+3×\frac{80}{351}+4×\frac{114}{351}+5×\frac{96}{351}+6$×$\frac{28}{351}$=4．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，在历年高考中都是必考内容之一，是中档题．