Question

12．已知命题p：函数f（x）=x³-（a+1）x-1在区间[0，1]上单调递增；命题q：?x₀∈R，x²+2ax+2-a＜0，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 命题p：函数f（x）=x³-（a+1）x-1在区间[0，1]上单调递增，求出f′（x）≥0在x∈[0，1]上恒成立，分离变量后利用函数的单调性求实数a的范围．求出q是真命题时，a的范围，利用复合命题的真假，判断求解即可．

解答 解：命题p：函数f（x）=x³-（a+1）x-1；所以f′（x）=3x²-a-1，
因为函数f（x）=x³-（a+1）x-1在区间[0，1]上单调递增；
所以f′（x）=3x²-a-1≥0在x∈[0，1]上恒成立．
即a≤3x²-1，在x∈[0，1]上恒成立．
所以a≤-1．
命题q：∵?x₀∈R，使得x²+2ax+2-a＜0，∴△=4a²-4（2-a）＞0⇒a＞1或a＜-2，
若p∨q为真，p∧q为假，可知两个命题一真一假；
p真q假时：可得a∈[-2，-1]．
q真p假时：可得a∈（1，+∞）．
实数a的取值范围：[-2，-1]∪（1，+∞）

点评 本题考查了函数的单调性与函数的导函数的关系，训练了利用分离变量法求参数的范围，考查了利用函数的单调性求函数的最值，复合命题的真假的判断与应用，是中档题．