Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）在函数f（x）=2^x-1的图象上，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2n-1，求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）点（n，S_n）在函数f（x）=2^x-1的图象上，n∈N^*，可得S_n=2ⁿ-1，利用递推关系即可得出；
（2）a_nb_n=（2n-1）•2^n-1．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵点（n，S_n）在函数f（x）=2^x-1的图象上，n∈N^*．
∴S_n=2ⁿ-1，
∴当n=1时，a₁=S₁=2-1=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1．
当n=1时上式也成立，
∴a_n=2^n-1．
（2）a_nb_n=（2n-1）•2^n-1．
∴数列{a_nb_n}的前n项和T_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1，
∴2T_n=2+3×2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
-T_n=1+2×2+2×2²+…+2×2^n-1-（2n-1）•2ⁿ=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-1-（2n-1）•2ⁿ=（3-2n）•2ⁿ-3，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ+3．

点评 本题考查了递推关系、“错位相减法”与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．