Question

18．已知函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$为奇函数（a、b∈Z），f（1）=2，f（2）＜3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x＜0时，确定f（x）的单调递增区间，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（-x）=-f（x），即$\frac{a（-x）^{2}+1}{-bx+c}$=-$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$可求c，再由f（-1）=-2，f（2）＜3结合a，b∈Z 可求a，b，进而可求f（x）
（2）利用导数大于0，可得f（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）
即$\frac{a（-x）^{2}+1}{-bx+c}$=-$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$
∴c=0，f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx}$
∵f（-1）=-2，f（2）＜3．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+1}{-b}=-2}\\{\frac{4a+1}{2b}＜3}\end{array}\right.$，
∴$\frac{a-2}{a+1}$＜0，解得-1＜a＜2
∵a∈Z
∴a=0或a=1
当a=0时，b=$\frac{1}{2}∉$Z，
当a=1时，b=1，满足题意，此时f（x）=$\frac{1+{x}^{2}}{x}$
（2）∵f（x）=$\frac{1+{x}^{2}}{x}$
∴f′（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$
∴x＜-1时，f′（x）＞0；x＞-1时，f′（x）＜0，
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-1）．

点评 本题综合考查了函数的奇偶性的应用，利用导数判断函数的单调区间的存在及函数性质的研究，考查了考试探索新问题的能力．