Question

10．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，且acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$b，求证：B≤$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 已知等式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用正弦定理及两角和与差的正弦函数公式化简，再利用诱导公式变形得到关系式，再利用正弦定理化简得到a+c=2b，利用余弦定理表示出cosB，把得出关系式代入并利用基本不等式求出cosB≥$\frac{1}{2}$，利用余弦函数的性质判断即可得证．

解答 证明：在△ABC中，acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{3}{2}$b，
整理得：$\frac{a（1+cosC）}{2}$+$\frac{c（1+cosA）}{2}$=$\frac{3}{2}$b，即a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b，
利用正弦定理化简得：sinA（1+cosC）+sinC（1+cosA）=3sinB，
即sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=sinA+sinC+sin（A+C）=sinA+sinC+sinB=3sinB，
整理得：sinA+sinC=2sinB，
再利用正弦定理化简得：a+c=2b，
由余弦定理得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-\frac{（a+c）^{2}}{4}}{2ac}$=$\frac{3}{8}$•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{ac}$-$\frac{1}{4}$≥$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$，
则B≤$\frac{π}{3}$．

点评 此题考查了正弦定理，余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键．