【题目】数列是各项均为正数的等比数列,设.
(1)数列是否为等比数列?证明你的结论;
(2)设数列的前项和分别为.若,求数列的通项公式.
【答案】(1)为等比数列.见解析(2)
【解析】
(1)设的公比为,的公比为,根据进而可得,化简得,进而可证明为等比数列;
(2)根据数列,是各项均为正数的等比数列,利用等比数列的通项公式求出和,根据对数运算得出和,根据等差数列的性质可证明数列,为等差数列,利用等差数列前项和公式求得和,代入,可求得,和,代入,即可得到数列的通项公式.
解:(1)由题可知,是各项均为正数的等比数列,,
设的公比为的公比为,
则,
故为等比数列.
(2)由于,是各项均为正数的等比数列,
设的公比为的公比为,
则,
所以,
,
则数列和分别是公差为和的等差数列,
由于的前n项和分别为,
则,,
而,
则,即,
即,
于是,①
将代入①式,解方程组,得,
所以,,
从而有.
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【题目】下列命题中正确命题的个数是( )
①命题“函数的最小值不为”是假命题;
②“”是“”的必要不充分条件;③若为假命题,则, 均为假命题;
④若命题: , ,则: , ;
A. B. C. D.
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【题目】已知函数和图象的对称轴完全相同,若,则y=g(x)的值域是( )
A. [-1,2] B. [-1,3] C. [,0,2] D. [0,,3]
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【题目】(本小题满分14分)已知过原点的动直线与圆 相交于不同的两点,.
(1)求圆的圆心坐标;
(2)求线段的中点的轨迹的方程;
(3)是否存在实数,使得直线 与曲线只有一个交点?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】对于给定数列,如果存在实常数使得对于任意都成立,我们称数列是“M类数列”.
(1)若,数列是否为“M类数列”?若是,指出它对应的实常数;若不是,请说明理由;
(2)证明:若数列是“M类数列”,则数列也是“M类数列”.
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【题目】某电器商场销售的彩电、U盘和播放器三种产品.该商场的供货渠道主要是甲、乙两个品牌的二级代理商.今年9月份,该商场从每个代理商处各购得彩电100台、U盘52个、播放器180台.而10月份,该商场从每个代理商处购得的产品数量都是9月份的1.5倍.现知甲、乙两个代理商给出的产品单价(元)如下页表中所示:
彩电 | U盘 | 播放器 | |
甲代理商单价(元) | 2350 | 1200 | 750 |
乙代理商单价(元) | 2100 | 920 | 700 |
(1)计算,并指出结果的实际意义;
(2)用矩阵求该商场在这两个月中分别支付给两个代理商的购货费用.
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【题目】已知数列的前n项和为,.
(1)求数列的通项公式;
(2)记.若对任意正整数n,恒成立,求k的取值范围;
(3)已知集合.若以a为首项,a为公比的等比数列前n项和记为,问是否存在实数a,使得对于任意的均有.若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
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