Question

17．已知函数f（x）=x³-3ax+2（a∈R）．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）把a=1代入函数解析式，求出切点坐标，并求出f′（0），然后由直线方程的点斜式得答案；
（2）求出原函数的导函数，对a分类分析，当a≤0时，f′（x）≥0，得f（x）在[0，1]上为增函数，求得函数最小值；当a＞0时，f′（x）=$3（{x}^{2}-a）=3（x+\sqrt{a}）（x-\sqrt{a}）$．然后由1分界讨论求得函数的最小值．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x³-3x+2，切点为（0，2），
∴f′（x）=3x²-3，
∴切线的斜率为k=f′（0）=-3，
则切线方程为y=-3x+2，即3x+y-2=0；
（2）f′（x）=3x²-3a=3（x²-a）．
当a≤0时，f′（x）≥0，∴f（x）在[0，1]上为增函数，
∴f（x）_min=f（0）=2；
当a＞0时，f′（x）=$3（{x}^{2}-a）=3（x+\sqrt{a}）（x-\sqrt{a}）$．
①若0＜$\sqrt{a}＜1$，即0＜a＜1时，
当0$≤x＜\sqrt{a}$时，f′（x）＜0，当$\sqrt{a}＜x≤1$时，f′（x）＞0．
∴f（x）在[0，$\sqrt{a}$）上为减函数，在（$\sqrt{a}，1$]上为增函数．
∴$f（x）_{min}=f（\sqrt{a}）=2-2a\sqrt{a}$；
②若$\sqrt{a}≥1$，即a≥1时，f′（x）≤0，∴f（x）在[0，1]上为减函数．
∴f（x）_min=f（1）=3-3a．
综上：$f（x）_{min}=\left\{\begin{array}{l}{2（a≤0）}\\{2-2a\sqrt{a}（0＜a＜1）}\\{3-3a（a≥1）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．