Question

5．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，且PA=AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=1，PA⊥平面ABCD．
（1）求PB与平面PCD所成角的正弦值；
（2）棱PD上是否存在一点E满足∠AEC=90°？

Answer 1

分析 （1）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{PB}$和平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$，则|cos＜$\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{n}$＞|即为所求；
（2）假设存在E符合条件，设$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PD}（0≤λ≤1）$，则$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CE}=0$，列出方程，判定方程在[0，1]上是否有解即可得出结论．

解答 解：（1）以A为坐标原点，以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，
则P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），
∴$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{PC}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{CD}$=（-1，1，0）．
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{PC}=0$，且$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{CD}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y-z=0}\\{-x+y=0}\end{array}\right.$，不妨取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
∴cos＜$\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{PB}||\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴PB与平面PCD所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．
（2）设$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PD}（0≤λ≤1）$，则E（0，2λ，1-λ），
则$\overrightarrow{CE}=（-1，2λ-1，1-λ）$，$\overrightarrow{AE}=（0，2λ，1-λ）$，
由∠AEC=90°得，$\overrightarrow{AE}•$$\overrightarrow{CE}=2λ（2λ-1）+（1-λ{）^2}=0$，
即5λ²-4λ+1=0，方程无解，
∴棱PD上不存在一点E满足∠AEC=90°．

点评 本题考查了空间向量的应用，线面角的计算，属于中档题．