Question

13．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，设点Q是曲线$\frac{x^2}{3}$+y²=1上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设Q（$\sqrt{3}cosθ$，sinθ），求出点Q到直线x-y+4=0的距离，利用三角函数性质能求出点到直线l的距离的最小值．

解答 解：∵点Q是曲线$\frac{x^2}{3}$+y²=1上的一个动点，
∴设Q（$\sqrt{3}cosθ$，sinθ），
点Q到直线x-y+4=0的距离d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ-sinθ+4|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{|2sin（θ+\frac{2π}{3}）+4|}{\sqrt{2}}$，
∴当sin（$θ+\frac{2π}{3}$）=-1时，它到直线l的距离的最小值为$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查点到直线的距离的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆参数方程的性质的合理运用．