Question

9．已知正项数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n²-（n²+n-1）S_n-（n²+n）=0，
（Ⅰ）求S₁和S₂的值；     
（Ⅱ）求{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）若令b_n=$\frac{n+1}{{{{（n+2）}^2}{a_n}^2}}$，设数列{b_n}的前n项和为T_n．求证：$\frac{1}{18}$≤T_n＜$\frac{5}{64}$．

Answer 1

分析 （I）由正项数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n²-（n²+n-1）S_n-（n²+n）=0，n=1，2时可得：${S}_{1}^{2}$-S₁-2=0，${S}_{2}^{2}-5{S}_{2}$-6=0，解出即可得出．
（II）由S_n²-（n²+n-1）S_n-（n²+n）=0，可得[Sn-（n2+n）]（Sn+1）=0．根据{a_n}是正项数列，可得Sn＞0，Sn=n2+n利用递推关系即可得出．
（III）b_n=$\frac{n+1}{{{{（n+2）}^2}{a_n}^2}}$=$\frac{n+1}{（n+2）^{2}×4{n}^{2}}$=$\frac{1}{16}$$[\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+2）^{2}}]$，利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可得出．

解答 （I）解：由正项数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n²-（n²+n-1）S_n-（n²+n）=0，n=1，2时可得：${S}_{1}^{2}$-S₁-2=0，${S}_{2}^{2}-5{S}_{2}$-6=0，
解得a₁=S₁=2，S₂=6．
（II）解：由S_n²-（n²+n-1）S_n-（n²+n）=0，可得[Sn-（n2+n）]（Sn+1）=0．
∵{a_n}是正项数列，
∴Sn＞0，Sn=n2+n．
n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n-（n-1）2-（n-1）=2n．
综上，数列{a_n}的通项a_n=2n．
（III）证明：b_n=$\frac{n+1}{{{{（n+2）}^2}{a_n}^2}}$=$\frac{n+1}{（n+2）^{2}×4{n}^{2}}$=$\frac{1}{16}$$[\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+2）^{2}}]$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{16}$$[（1-\frac{1}{{3}^{2}}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}}-\frac{1}{{4}^{2}}）$+$（\frac{1}{{3}^{2}}-\frac{1}{{5}^{2}}）$+…+$（\frac{1}{（n-1）^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}）$+$（\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+2）^{2}}）]$=$\frac{1}{16}$$[1+\frac{1}{4}-\frac{1}{（n+1）^{2}}-\frac{1}{（n+2）^{2}}]$
∴T₁≤T_n＜$\frac{1}{16}$×$\frac{5}{4}$=$\frac{5}{64}$．
∴$\frac{1}{18}$≤T_n$＜\frac{5}{64}$．

点评 本题考查了递推关系、“裂项求和”方法、数列的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．