Question

13．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=f（x）+f（m-x），m＞0．
（1）求函数g（x）的定义域；
（2）求g（x）的单调区间；
（3）若a＞0，b＞0，证明：f（a）+（a+b）1n2≥f（a+b）-f（b）．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）=xlnx，g（x）=f（x）+f（m-x），可直接求得g（x）的定义域．
（2）求g（x）的导函数g'（x），然后分别对g'（x）＞0以及g'（x）＜0两种情况进行讨论．继而求得g（x）的单调区间
（3）根据（2）的结论，按照g（x）的单调性，证明f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2，整理即为结论．

解答 解：（1）根据题意，f（x）的定义域为{x|x＞0}，
要使g（x）有意义，则$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{m-x＞0}\end{array}\right.$，
那么g（x）的定义域为{x|0＜x＜m}．
（2）g（x）=f（x）+f（m-x）=xlnx+（m-x）ln（m-x）
则g'（x）=lnx+1-ln（m-x）-1=ln$\frac{x}{m-x}$
由g′（x）＞0，得$\frac{x}{m-x}＞1$，
解得：$\frac{m}{2}＜x＜m$
由g′（x）＜0
得：$0＜\frac{x}{m-x}＜1$
解得：$0＜x＜\frac{m}{2}$
∴g（x）在$[\frac{m}{2}，m）$上为增函数，
在（0，$\frac{m}{2}$）上为减函数
（3）要证f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）．
只须证f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2
而在（2）中，取m=a+b，
则g（x）=f（x）+f（a+b-x）
则g（x）在[$\frac{a+b}{2}$，a+b）上为增函数，
在$（0，\frac{a+b}{2}]$上为减函数．
∴g（x）的最小值为：
g（$\frac{a+b}{2}$）=f（$\frac{a+b}{2}$）+f（a+b-$\frac{a+b}{2}$）=2f（$\frac{a+b}{2}$）=（a+b）ln$\frac{a+b}{2}$
=（a+b）ln（a+b）-（a+b）ln2
那么g（a）≥g（$\frac{a+b}{2}$）
得：f（a）+f（a+b-a）≥（a+b）ln（a+b）-（a+b）ln2=f（a+b）-（a+b）ln2
即：f（a）+（a+b）ln2≥f（a+b）-f（b）

点评 本题考查不等式的证明，函数的定义域及其求法，函数单调性及其应用，以及对数函数的定义域．通过对知识的灵活运用，考查对知识的理解与认知．属于中档题．