Question

函数f（x）=alnx+x，对任意的x∈[

1

e

，e]时，f（x）≥0恒成立，则a的范围为（　　）

A．[-1， 1 e ]

B．[ 1 e ，1]

C．[-e， 1 e ]

D．[-1，1]

Answer 1

解；函数的定义域为（0，+∞）．函数的导数为f′(x)=1+

a

x

=

x+a

x

．
要使f（x）≥0恒成立，则只需当x∈[

1

e

，e]时，求函数f（x）的最小值，让最小值满足大于0，即可．
若a≥0，f'（x）＞0，此时函数在[

1

e

，e]单调递增，所以最小值为f(

1

e

)=aln

1

e

+

1

e

=

1

e

-a，此时由

1

e

-a≥0，解得0≤a≤

1

e

．
若a＜0，由f'（x）=0，得x=-a，函数f（x）在x=-a处取得极小值．若-a＜

1

e

，在函数在[

1

e

，e]单调递增，
所以最小值为f(

1

e

)=aln

1

e

+

1

e

=

1

e

-a，此时

1

e

-a≥0，恒成立，此时-

1

e

＜a＜0．
若

1

e

＜-a＜e，此时函数在x=-a处取得最小值，此时f（-a）=aln（-a）-a≥0，解得-e≤a．
若-a≥e，此时函数在[

1

e

，e]单调递递减，此时最小值为f（e）=alne+e≥0，解得a≥-e．
综上：a的范围为[-e，

1

e

]．
故选C．