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已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一个极值点.
(Ⅰ)求a;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点,求b的取值范围.
分析:(Ⅰ)先求导f(x)=
a
1+x
+2x-10
,再由x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一个极值点即f(3)=
a
4
+6-10=0
求解.
(Ⅱ)由(Ⅰ)确定f(x)=16ln(1+x)+x2-10x,x∈(-1,+∞)再由f′(x)>0和f′(x)<0求得单调区间.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,f(x)在(-1,1)内单调增加,在(1,3)内单调减少,在(3,+∞)上单调增加,且当x=1或x=3时,f′(x)=0,可得f(x)的极大值为f(1),极小值为f(3)一,再由直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点则须有f(3)<b<f(1)求解,因此,b的取值范围为(32ln2-21,16ln2-9).
解答:解:(Ⅰ)因为f(x)=
a
1+x
+2x-10

所以f(3)=
a
4
+6-10=0

因此a=16
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=16ln(1+x)+x2-10x,x∈(-1,+∞)f(x)=
2(x2-4x+3)
1+x

当x∈(-1,1)∪(3,+∞)时,f′(x)>0
当x∈(1,3)时,f′(x)<0
所以f(x)的单调增区间是(-1,1),(3,+∞)f(x)的单调减区间是(1,3)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,f(x)在(-1,1)内单调增加,
在(1,3)内单调减少,在(3,+∞)上单调增加,且当x=1或x=3时,f′(x)=0
所以f(x)的极大值为f(1)=16ln2-9,极小值为f(3)=32ln2-21
因此f(16)=162-10×16>16ln2-9=f(1)f(e-2-1)<-32+11=-21<f(3)
所以在f(x)的三个单调区间(-1,1),(1,3),(3,+∞)直线y=b有y=f(x)的图象各有一个交点,当且仅当f(3)<b<f(1)
因此,b的取值范围为(32ln2-21,16ln2-9).
点评:此题重点考查利用求导研究函数的单调性,最值问题,函数根的问题;,熟悉函数的求导公式,理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键,数形结合理解函数的取值范围.
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