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已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一个极值点.求:
(I)实数a的值;  
(Ⅱ)函数f(x)的单调区间.
【答案】分析:(Ⅰ)先求导f′(x),再由x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一个极值点即f′(3)=0建立方程,解之即可;
(Ⅱ)由(Ⅰ)确定函数f(x)的解析式,再由f′(x)>0和f′(x)<0求得单调区间.
解答:解:(Ⅰ)因为f′(x)=+2x-10
所以f′(3)=+6-10=0
因此a=16
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=16ln(1+x)+x2-10x,x∈(-1,+∞)
∴f′(x)=
当x∈(-1,1)∪(3,+∞)时,f′(x)>0
当x∈(1,3)时,f′(x)<0
所以f(x)的单调增区间是(-1,1),(3,+∞);f(x)的单调减区间是(1,3)
点评:本题主要考查利用求导研究函数的单调性,解题的关键是弄清函数在某点取得极值的条件,同时考查了运算求解的能力,属于基础题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一个极值点.
(Ⅰ)求a;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知x=3是函数f(x)=(x2+ax+b)e3-x,(x∈R)的一个极值点.
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(Ⅱ)当a>0时,求f(x)在[0,4]上的值域.

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已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一个极值点.求:
(I)实数a的值;  
(Ⅱ)函数f(x)的单调区间.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知x=3是函数f(x)=(x2+ax-2a-3)e3-x的极值点.
(1)求f(x)的单调区间(用a表示);
(2)设a>0,g(x)=(a2+8)ex,若存在ξ1,ξ2∈[0,4]使得|f(ξ1)-g(ξ2)|<3成立,求a的取值范围.

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