Question

已知x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x²-10x的一个极值点．求：
（I）实数a的值；  
（Ⅱ）函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求导f′（x），再由x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x²-10x的一个极值点即f′（3）=0建立方程，解之即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）确定函数f（x）的解析式，再由f′（x）＞0和f′（x）＜0求得单调区间．

解答：解：（Ⅰ）因为f′（x）=

a

x+1

+2x-10
所以f′（3）=

a

4

+6-10=0
因此a=16
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16ln（1+x）+x²-10x，x∈（-1，+∞）
∴f′（x）=

2(x2-4x+3)

x+1

当x∈（-1，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0
当x∈（1，3）时，f′（x）＜0
所以f（x）的单调增区间是（-1，1），（3，+∞）；f（x）的单调减区间是（1，3）

点评：本题主要考查利用求导研究函数的单调性，解题的关键是弄清函数在某点取得极值的条件，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．