Question

已知函数f（x）=aln（e^x+1）-（a+1）x，g（x）=x²-（a-1）x-f（lnx），a∈R，且g（x）在x=1处取得极值．
（1）求a的值；
（2）若对0≤x≤3，不等式g（x）≤m-8ln2成立，求m的取值范围；
（3）已知△ABC的三个顶点A，B，C都在函数f（x）的图象上，且横坐标依次成等差数列，讨论△ABC是否为钝角三角形，是否为等腰三角形．并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）g′(x)=2x-(a-1)-

a

1+x

+

a+1

x

(x＞0)，由g′（1）=0，能求出a；
（2）求出g（x）的导函数，由导数的正负得到函数的单调区间，进而得到函数g（x）在0≤x≤3上的最大值，又由对0≤x≤3，不等式g（x）≤m-8ln2成立，则m-8ln2≥g（x）_max成立，解出m即可；
（3）设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），x₁＜x₂＜x₃，则x₂-x₁=x₃-x₂=d＞0，而f′(x)=

8ex

1+ex

-9=

-9-ex

1+ex

＜0恒成立，所以f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃）．由此能够推导出△ABC不可能是等腰三角形．

解答：解：（1）g（x）=x²-（a-1）x-aln（1+x）+（a+1）lnx（x＞0），
g′(x)=2x-(a-1)-

a

1+x

+

a+1

x

(x＞0)，
由于g（x）在x=1处取得极值，有g′（1）=0，所以a=8．
（2）g（x）=x²-7x-8ln（1+x）+9lnx（x＞0）
g′(x)=2x-7-

8

1+x

+

9

x

=

(x-1)(x-3)(2x+3)

x(x+1)

(x＞0)，
由g′（x）=0，得x=1或x=3
函数g（x）增区间（0，1），减区间（1，3），
所以函数g（x）在x=1处取得极大值且g（x）_max=g（1）=-6-8ln2
不等式m-8ln2≥g（x），对0≤x≤3成立，等价于m-8ln2≥g（x）_max成立
∴m≥-6
（3）设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））．C（x₃，f（x₃）），且x₁＜x₂＜x₃，x2=

x1+x3

2

，
f′(x)=

8ex

1+ex

-9=

-9-ex

1+ex

＜0恒成立，∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递减．
∴f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃），
∴

BA

=(x1-x2 ， f(x1)-f(x2))，

BC

=(x3-x2 ， f(x3)-f(x2))，
∴

BA

•

BC

=(x3-x2)(x1-x2) +f(x1)-f(x2)•f(x3)-f(x2)＜0．
所以B为钝角，△ABC是钝角三角形．
若△ABC是等腰三角形，则只能是|

BA

|=|

BC

|．
即(x1-x2)2 +[f(x1)-f(x2)]2=(x3-x2)2+[f(x3)-f(x2)]2
∵x2=

x1+x3

2

∴[f(x1)-f(x2)]2=[f(x3)-f(x2)]2．
f（x₁）-f（x₂）≠f（x₃）-f（x₂）f（x₁）-f（x₂）=f（x₂）-f（x₃）
∴f(

x1+x3

2

)=

f(x1)+f(x3)

2

，
由f（x）=8ln（1+e^x）-9x，f(x1)+f(x2)-2f(

x1+x2

2

)
=8 [ln(1+ex1)(1+ex1)-ln(1+e

x1+x2

2

)2]
=8[ln(1+ex1+ex2+ex1+x2)-ln(1+2e

x1+x2

2

+ex1+x2)]
∵x₁≠x₂∴ex1+ex2＞2

ex1•ex2

=2e

x1+x2

2

∴1+ex1+ex2+ex1+x2＞1+2e

x1+x2

2

+ex1+x2
∴f(x1)+f(x2)-2f(

x1+x2

2

)＞0
∴f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

，
故△ABC是钝角三角形，但不可能是等腰三角形．

点评：本题考查实数值的求法，不等式的证明，等腰三角形的判断．综合性强，难度大，具有一定的探索性，对数学思维的要求较高．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．