Question

（2012•包头三模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点为F（2，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△MOF是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k₁，k₂，且k₁+k₂=8，证明：直线AB过定点（-

1

2

 ， -2）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由△MOF是等腰直角三角形，得c²=b²=4，再根据a²=b²+c²可求得a；
（Ⅱ）分情况讨论：（1）当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为：y=kx+m，联立直线AB方程与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及k₁+k₂=8可得关于k，m的关系式，消m代入直线AB方程可求得定点坐标；（2）若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x₀，由已知可求得AB方程，易验证其过定点；

解答：（Ⅰ）解：由△MOF是等腰直角三角形，得c²=b²=4，a²=8，
故椭圆方程为：

x2

8

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）证明：（1）若直线AB的斜率存在，设AB的方程为：y=kx+m，依题意得m≠±2，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2 8 + y2 4 =1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
则x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-8

1+2k2

．
由已知 k₁+k₂=8，可得 

y1-2

x1

+

y2-2

x2

=8，
所以

kx1+m-2

x1

+

kx2+m-2

x2

=8，即2k+(m-2)

x1+x2

x1x2

=8．     
所以k-

mk

m+2

=4，整理得 m=

1

2

k-2．
故直线AB的方程为y=kx+

1

2

k-2，即y=k（x+

1

2

）-2．
所以直线AB过定点（-

1

2

 ， -2）．   
（2）若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x₀，
设A（x₀，y₀），B（x₀，-y₀），
由已知

y0-2

x0

+

-y0-2

x0

=8，得x0=-

1

2

．
此时AB方程为x=-

1

2

，显然过点（-

1

2

 ， -2）．
综上，直线AB过定点（-

1

2

 ， -2）．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆标准方程的求解，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力．