Question

（2011•成都一模）已知函数f（x）=x³+（4-a）x²-15x+a，a∈R．
（I）若点P（0，-2）在函数f（x）的图象上，求a的值和函数f（x）的极小值；
（II）若函数f（x）在（-1，1）上是单调递减函数，求a的最大值．

Answer 1

分析：（I）根据点P（0，-2）在函数f（x）的图象上，可得a=-2，从而f（x）=x³+6x²-15x-2，利用导数确定函数的单调区间，从而可得函数f（x）的极小值；
（II）先求导函数f′（x）=3x²+2（4-a）x-15要使函数f（x）在（-1，1）上是单调递减函数，则f′（x）≤0在（-1，1）上恒成立，从而可得不等式，解之即可得到a的最大值．

解答：解：（I）∵点P（0，-2）在函数f（x）的图象上
∴a=-2
∴f（x）=x³+6x²-15x-2
∴f′（x）=3x²+12x-15=3（x-1）（x+5）
令f′（x）=0，解得x=-5或x=1
令f′（x）＜0，解得-5＜x＜1，∴函数的单调减区间为（-5，1）
令f′（x）＞0，解得x＜-5或x＞1，∴函数的单调增区间为（-∞，-5），（1，+∞）
∴x=1时，函数f（x）取到极小值为f（x）=1+6-15-2=-10
（II）f′（x）=3x²+2（4-a）x-15
要使函数f（x）在（-1，1）上是单调递减函数，则f′（x）≤0在（-1，1）上恒成立
∴

f′(-1)≤0 f′(1)≤0

∴

3-2(4-a)-15≤0 3+2(4-a)-15≤0

∴

2a-20≤0 -2a-4≤0

∴-2≤a≤10
∴a的最大值为10．

点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值，同时考查学生分析解决问题的能力，解题时，将函数f（x）在（-1，1）上是单调递减函数，转化为f′（x）≤0在（-1，1）上恒成立是关键．