Question

8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，2S_n+1-S_n=2，n∈N^*．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{a_n²}的前n项和为T_n，若S_n²-λT_n＜0对任意n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

分析 （1）由2S_n+1-S_n=2，n∈N^*，变形为${S}_{n+1}-2=\frac{1}{2}（{S}_{n}-2）$，利用等比数列的通项公式可得S_n-2，再利用递推式可得a_n．
（2）由（1）可得${a}_{n}^{2}$=$\frac{1}{{4}^{n-1}}$．kd 数列{a_n²}的前n项和为T_n=$\frac{4}{3}$$（1-\frac{1}{{4}^{n}}）$．于是S_n²-λT_n＜0化为λ＞3-$\frac{6}{{2}^{n}+1}$．再利用数列的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵2S_n+1-S_n=2，n∈N^*，
∴${S}_{n+1}-2=\frac{1}{2}（{S}_{n}-2）$，
∴数列{S_n-2}是等比数列，首项为-1，公比为$\frac{1}{2}$．
∴S_n-2=-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴S_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=S_n-S_n-1=$（2-\frac{1}{{2}^{n-1}}）$-$（2-\frac{1}{{2}^{n-2}}）$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
（2）由（1）可得${a}_{n}^{2}$=$\frac{1}{{4}^{n-1}}$．
∴数列{a_n²}的前n项和为T_n=$\frac{1-\frac{1}{{4}^{n}}}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{3}$$（1-\frac{1}{{4}^{n}}）$．
S_n²-λT_n＜0即$（2-\frac{1}{{2}^{n-1}}）^{2}$＜λ•$\frac{4}{3}$$（1-\frac{1}{{4}^{n}}）$．
化为λ＞$\frac{3（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1+\frac{1}{{2}^{n}}}$=3-$\frac{6}{{2}^{n}+1}$．
∵数列$\{\frac{6}{{2}^{n}+1}\}$单调递减，且S_n²-λT_n＜0对任意n∈N^*恒成立，
∴λ≥3．
∴λ的最小值为3．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．