Question

20．已知数列{a_n}，{b_n}的通项公式分别是a_n=n，b_n=2ⁿ，其前n项的和分别为A_n，B_n，c_n=a_nB_n+b_nA_n-a_nb_n，则数列{c_n}的前10项的和为112530．

Answer 1

分析 a_n=n，可得其前n项的和A_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．由b_n=2ⁿ，可得其前n项的和为B_n=2ⁿ⁺¹-2．可得c_n=（n²+3n）×2^n-1-2n．令数列{n²×2^n-1}的前n项的和为S_n，令数列{n×2^n-1}的前n项的和为T_n，分别利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵a_n=n，∴其前n项的和A_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
∵b_n=2ⁿ，∴其前n项的和为B_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2ⁿ⁺¹-2．
∴c_n=a_nB_n+b_nA_n-a_nb_n=n（2ⁿ⁺¹-2）+${2}^{n}×\frac{n（n+1）}{2}$-n×2ⁿ=（n²+3n）×2^n-1-2n．
令数列{n²×2^n-1}的前n项的和为S_n，令数列{n×2^n-1}的前n项的和为T_n，
则S_n=1²×1+2²×2+3²×2²+…+n²×2^n-1，
∴2S_n=2+2²×2²+3²×2³+…+（n-1）²×2^n-1+n²×2ⁿ，
-S_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）×2^n-1-n²×2ⁿ，
令数列{（2n-1）×2^n-1}的前n项和为V_n，
则V_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）×2^n-1，
∴2V_n=2+3×2²+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，
-V_n=1+2×2+2×2²+…+2×2^n-1-（2n-1）×2ⁿ=$\frac{{2}^{n+1}-1}{2-1}$-2-（2n-1）×2ⁿ=（3-2n）×2ⁿ-3，
∴V_n=（2n-3）×2ⁿ+3．
-S_n=（2n-3）×2ⁿ+3-n²×2ⁿ=（2n-3-n²）×2ⁿ+3．
∴S_n=（n²-2n+3）×2ⁿ-3．
同理可得：T_n=（n-1）×2ⁿ+1．
∴数列{c_n}的前n项的和=（n²-2n+3）×2ⁿ-3+3（n-1）×2ⁿ+3-$\frac{n（2+2n）}{2}$
=（n²+n）×2ⁿ-n²-n．
∴数列{c_n}的前10项的和=（10²+10）×2¹⁰-10²-10=112530．
故答案为：112530．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．