Question

对于函数，其中a为实常数，已知函数y＝f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线与y轴垂直。

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若关于的方程有三个不等实根，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若函数无零点，求实数的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）。                                      （1分）

据题意，当时取极值，所以。                            （2分）

因为，由1－2a＝0，得。    （4分）

（Ⅱ）因为，则，

所以。

由，得，即x＜－1或1＜x＜2。

所以f(x)在区间，(1，2)上单调递增，在区间(－1，1)，(2，＋∞)上单调递减。（6分）

所以的极大值为，极小值为。             （7分）

由此可得函数y＝f(x)的大致图象如下：                                          （8分）

令，若关于的方程有三个不等实根，

则关于的方程在上有三个不等实根，

即函数的图象与直线在上有三个不同的交点。

又，由图象可知，，

故的取值范围是。                                                （9分）

（Ⅲ）若函数无零点，则当时，。

设函数的定义域为D，则当x∈D时，恒有或。（11分）

因为函数的值域是，所以，即。

故p的取值范围是。                                                  （13分）