Question

对于函数f(x)=-

1

4

x4+

2

3

x3+ax2-2x-2，其中a为实常数，已知函数y=f（x）的图象在点（-1，f（-1））处的切线与y轴垂直．
（1）求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（3^x）=m有三个不等实根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出导函数，令x=1求出f′（1）的值，再将（1，-2）代入f（x）求出m的值；求出g′（x）令其x=1求出g′（1）=0求出a值；求出g′（x）=0的根，判断出根左右两边的符号，求出极小值．
（2）先得出f(x)=-

1

4

x4+

2

3

x3+

1

2

x2-2x-2．再利用导数研究其单调性及极值，从而得出函数y=f（x）的大致图象，令3^x=t（t＞0），若关于x的方程f（3^x）=m有三个不等实根，则关于t的方程f（t）=m在（0，+∞）上有三个不等实根，即函数y=f（t）的图象与直线y=m在（0，+∞）上有三个不同的交点．最后由图象可知m的取值范围．

解答：解：（1）f′（x）=-x³+2x²+2ax-2．                   （1分）
据题意，当x=-1时f（x）取极值，所以f′（-1）=0．              （2分）
因为f′（-1）=-（-1）³+2×（-1）²+2a×（-1）-2=1-2a．
由1-2a=0，得a=

1

2

．  （4分）
（2）因为a=

1

2

，则f(x)=-

1

4

x4+

2

3

x3+

1

2

x2-2x-2．
所以f′（x）=-x³+2x²+x-2=-（x-1）（x+1）（x-2）．
由f′（x）＞0，得（x-1）（x+1）（x-2）＜0，即x＜-1或1＜x＜2．
所以f（x）在区间（-∞，-1），（1，2）上单调递增，
在区间（-1，1），（2，+∞）上单调递减．（6分）
所以f（x）的极大值为f(-1)=-

5

12

，f(2)=-

8

3

，
极小值为f(1)=-

37

12

．      （7分）
由此可得函数y=f（x）的大致图象如下：（8分）
令3^x=t（t＞0），若关于x的方程f（3^x）=m有三个不等实根，
则关于t的方程f（t）=m在（0，+∞）上有三个不等实根，
即函数y=f（t）的图象与直线y=m在（0，+∞）上有三个不同的交点．
又f(0)=-2＞-

8

3

，由图象可知，-

37

12

＜m＜-

8

3

，
故m的取值范围是(-

37

12

，-

8

3

)．                        （9分）

点评：本题考查曲线的切线问题时，常利用的是切线的导数在切点处的导数值为切线的斜率；解决函数的极值问题唯一的方法是利用导数．