Question

设x₁，x₂是函数f（x）=

a

3

x3+

b

2

x2-a²x（a＞0，b∈R）的两个极值点，且丨x₁-x₂丨=2．
（Ⅰ）用a的代数式表示b²；
（Ⅱ）求证：0＜a≤1；
（Ⅲ）求b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由x₁，x₂是f（x）=

a

3

x3+

b

2

x2-a²x（a＞0）的两个极值点，知x₁，x₂是f′（x）=0的两个根，得到x₁x₂=-a＜0，x₁+x₂=-

b

a

，则|x₁-x₂|=

b2 a2 +4a

=2，即可得到a的代数式表示b²；
（Ⅱ）由于b²≥0，即得证；
（Ⅲ）由x₁²+x₂²+2|x₁x₂|=4，知b²=4a²（1-a），令g（a）=4a²（1-a）=-4a³+4a²，得到g′（a）=-4a（3a-2）．由此能够得到函数的最大值，进而得到b的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）易得f′（x）=ax²+bx-a²
∵x₁，x₂是函数f（x）=

a

3

x3+

b

2

x2-a²x（a＞0）的两个极值点
∴x₁，x₂是f′（x）=ax²+bx-a²=0的两个实根
又a＞0，x₁x₂=-a＜0，x₁+x₂=-

b

a

，
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

b2 a2 +4a

∵|x₁-x₂|=2，∴

b2

a2

+4a=4，即b²=4a²-4a³=4a²（1-a），
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b²=4a²（1-a），
∵b²≥0，∴0＜a≤1
（Ⅲ）由（Ⅰ）知b²=4a²（1-a），
令g（a）=4a²（1-a）=-4a³+4a²，则g′（a）=-4a（3a-2）．
由g′（a）＞0，得0＜a＜

2

3

，由g′（a）＜0，得

2

3

＜a≤1，
∴g（a）在(0，

2

3

)上单调递增，在(

2

3

，1]上单调递减
∴当a=

2

3

时，g（a）取得极大值也是最大值．
∴g(a)max=g(

2

3

 )=

16

27

∴b的取值范围：|b|≤

4 3

9

．

点评：本题考查导数在最大值、最小值中的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．