Question

设函数f（x）=x²+bx+c，且f（1）=-

1

2

．
（1）求证：函数f（x）有两个零点．
（2）设x₁、x₂是函数f（x）的两个零点，求|x₁-x₂|的取值范围．
（3）求证：函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．

Answer 1

分析：（1）由条件化简函数的解析式，求出函数的判别式，由判别式大于0恒成立得到函数f（x）有两个零点．
（2）设x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，则x₁，x₂是方程f（x）=0的两根，可求x₁+x₂及x₁•x₂的值，将|x₁-x₂|变形，用x₁+x₂及x₁•x₂的值表示，配方求出最小值，由题意知，式子无最大值．
（3）先求出2个端点的函数值f（0）、f（2），当c＞0时，有f（0）＞0，f（1）＜0，在区间（0，2）内至少有一个零点；当c≤0时，f（1）＜0，f（2）=1-c＞0，得函数f（x）在区间（1，2）内有一零点．

解答：解：（1）证明：∵f（1）=1+b+c=-

1

2

，∴b+c=-

3

2

．
∴c=-

3

2

-b．
∴f（x）=x²+bx+c=x²+bx-

3

2

-b，
判别式△=b²-4（-

3

2

-b）=b²+4b+6
=（b+2）²+2＞0恒成立，故函数f（x）有两个零点
（2）若x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，则x₁，x₂是方程f（x）=0的两根
∴x₁+x₂=-b，x₁•x₂=-

3

2

-b
∴|x₁-x₂|=

△

|a|

=

(b+2)2+2

≥

2

∴|x₁-x₂|的取值范围为[

2

，+∞）
（3）f（0）=c，f（2）=4+2b+c，由（I）知b+c=-

3

2

，∴f（2）=1-c．
（i）当c＞0时，有f（0）＞0，而f（1）=-

1

2

＜0，故函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，
故在区间（0，2）内至少有一个零点．
（ii）当c≤0时，f（1）＜0，f（0）=c≤0，f（2）=1-c＞0，∴函数f（x）在区间（1，2）内有一零点，
综合（i）（ii），可知函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点

点评：本题考查函数的零点与方程根的关系，函数的零点就是函数f（x）=0的根；零点的判定方法是，函数在区间端点的函数值异号．