Question

【题目】设椭圆 1（a＞ ）的右焦点为F，右顶点为A，已知 ，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线l的斜率．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由 ，

得 + = ，

即 = ，

∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2．

∴椭圆方程为 ；

（2）

解：由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），

设B（x1，y1），M（x0，k（x0﹣2）），

∵∠MOA=∠MAO，

∴x0=1，

再设H（0，yH），

联立 ，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0．

△=（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）=144＞0．

由根与系数的关系得 ，

∴ ， ，

MH所在直线方程为y﹣k（x0﹣2）=﹣ （x﹣x0），

令x=0，得yH=（k+ ）x0﹣2k，

∵BF⊥HF，

∴ ，

即1﹣x1+y1yH=1﹣ [（k+ ）x0﹣2k]=0，

整理得： =1，即8k2=3．

∴k=﹣ 或k=

【解析】（1）由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入 + = ，转化为关于a的方程，解方程求得a值，则椭圆方程可求；
（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF⊥HF，得 ，整理得到M的坐标与k的关系，由∠MOA=∠MAO，得到x0=1，转化为关于k的等式求得k的值．
本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法，考查运算能力，是难题．