Question

已知焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0）的椭圆经过点（1，

2

2

），直线l过点F₂与椭圆交于A、B两点，其中O为坐标原点．
（1）求

OA

•

OB

的范围；
（2）若

OA

+

OB

与向量

a

=(-2

2

，1)共线，求

OA

•

OB

的值及△AOB的外接圆方程．

Answer 1

分析：（1）利用焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0）的椭圆经过点（1，

2

2

），结合椭圆的定义，可以求出椭圆的标准方程，再将直线方程与椭圆方程联立，将数量积用坐标表示，就可以求出

OA

•

OB

的范围；
（2）

OA

+

OB

与向量

a

=(-2

2

，1)共线，及韦达定理，我们可以求出

OA

•

OB

的值，再分类求出△AOB的外接圆方程即可．

解答：解：（1）∵焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0）的椭圆经过点（1，

2

2

），
∴2a=2

2

，∴a=

2

，
∵焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0）
∴c=1
∴b²=1，所以椭圆的方程是

x2

2

+y2=1，
直线方程y=k（x-1）代入椭圆的方程

x2

2

+y2=1，消去y，化简为（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-1)(x2-1)=

k2-2

2k2+1

（#）  
令

k2-2

2k2+1

=m，则k2=

m+2

1-2m

≥0，∴-2≤m＜

1

2

，∴-2≤

OA

•

OB

＜

1

2

当k不存在时，A(1，

2

2

)，B(1，-

2

2

)，则

OA

•

OB

=

1

2

综上，-2≤

OA

•

OB

≤

1

2

（6分）
（2）

OA

+

OB

=(x1+x2，y1+y2)
∵

OA

+

OB

与向量

a

=(-2

2

，1)共线
∴x1+x2=-2

2

(y1+y2)
∴x1+x2=-2

2

[k(x1-1)+k(x2-1)]
由韦达定理知k=0或k=

2

代入（#）得

OA

•

OB

=-2或0
当

OA

•

OB

=-2时，A，O，B共线，不存在外接圆
当

OA

•

OB

=0时，

OA

⊥

OB

，外接圆直径为AB，圆心为（

4

5

，-

2

5

），r2=|OC|2=

18

25

∴△AOB的外接圆方程为(x-

4

5

)2+(y+

2

5

)2=

18

25

点评：椭圆的标准方程的确定，关键是确定椭圆的几何量，直线与椭圆的位置关系问题，通常要利用韦达定理，注意掌握技巧与方法．