Question

已知焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0）的椭圆经过点（1，），直线l过点F₂与椭圆交于A、B两点，其中O为坐标原点．
（1）求的范围；
（2）若与向量共线，求的值及△AOB的外接圆方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0）的椭圆经过点（1，），结合椭圆的定义，可以求出椭圆的标准方程，再将直线方程与椭圆方程联立，将数量积用坐标表示，就可以求出的范围；
（2）与向量共线，及韦达定理，我们可以求出的值，再分类求出△AOB的外接圆方程即可．
解答：解：（1）∵焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0）的椭圆经过点（1，），
∴，∴，
∵焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0）
∴c=1
∴b²=1，所以椭圆的方程是，
直线方程y=k（x-1）代入椭圆的方程，消去y，化简为（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴==（#）  
令=m，则≥0，∴，∴
当k不存在时，，则=
综上，（6分）
（2）
∵与向量共线
∴
∴
由韦达定理知k=0或k=代入（#）得=-2或0
当=-2时，A，O，B共线，不存在外接圆
当=0时，，外接圆直径为AB，圆心为（，-），
∴△AOB的外接圆方程为
点评：椭圆的标准方程的确定，关键是确定椭圆的几何量，直线与椭圆的位置关系问题，通常要利用韦达定理，注意掌握技巧与方法．