Question

若关于x的方程x²+2（a+1）x+2a+1=0有且仅有一个小于1的正数根，那么实数a的取值范围是

（-1，-

1

2

）

．

Answer 1

分析：令f（x）=x²+2（a+1）x+2a+1，方程的判别式△=4a²，故方程一定有根，关于x的方程x²+2（a+1）x+2a+1=0有且仅有一个小于1的正数根，可得出f（0）×f（1）＜0，可解出参数的取值范围．

解答：解：由题意令f（x）=x²+2（a+1）x+2a+1，方程的判别式△=4a²，故方程一定有根，当△=0时，方程有一个负根不合题意，故方程必有两根
关于x的方程x²+2（a+1）x+2a+1=0有且仅有一个小于1的正数根，故f（0）×f（1）＜0
即（2a+1）（4a+4）＜0，解得-1＜a＜-

1

2

即实数a的取值范围是（-1，-

1

2

）
故答案为（-1，-

1

2

）

点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，求解问题的关键是正确理解有且仅有一个小于1的正数根，将能将其转化为函数在（0，1）内仅有一个0点．