Question

【题目】如图，四棱锥 中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面 ABCD平面， E为PD中点， AD=2.

（Ⅰ）求证：平面 平面PCD；
（Ⅱ）若二面角 的平面角大小 满足 ，求四棱锥 的体积.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）取AD中点为O， BC中点为E，
由侧面PAD为正三角形，且平面 平面ABCD知 平面ABCD，故 ，
又 ，则 平面PAD，所以 ，
又 ，则 ，又E是PD中点，则 ，
由线面垂直的判定定理知 平面PCD，
又 平面AEC，故平面 平面PCD.
（Ⅱ）

如图所示，建立空间直角坐标系 ，
令AB=a，则 .
由（Ⅰ）知 为平面PCE的法向量，
令 为平面PAC的法向量，
由于 均与n垂直，
故 即 解得
故 ，由 ，解得 .
故四棱锥 的体积
【解析】（1）由平面与平面垂直的性质可得直线与平面垂直，进而得到直线与直线垂直，利用直线与平面垂直的判定定理得到直线与平面垂直，一组相交直线分别垂直于同一平面，故可推出平面与平面垂直。
（2）将立体几何坐标化，通过向量的方法，设出平面法向量，最终求得四棱锥的体积。
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平面与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．