Question

已知函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记a_n=3^f（n），n∈N^*　
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）设b_n=，求数列{b_n}的前n项和T_n　
（3）在（2）的条件下，判断数列{T_n }的单调性，并给出证明．

Answer 1

解：（1）由题意得 ，解得 ，（2分）
∴f（x）=log₃（2x-1）
（4分）
（2）由（1）得 ，∴①…5分
②…7分
①-②得 =，
∴，（10分）
（3）数列{T_n }为递增数列
∵T_n=3-，令f（n）=，n∈n^*，
∴f（n+1）-f（n）=-=＜0…13分
故函数f（n）=，n∈n^*为减函数，
则数列{T_n }为递增数列…14分
分析：（1）先由函数f（x）=log₃（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），求出a，b，进而求得函数f（x）的解析式，即可求出数列{a_n}的通项公式；
（2）用错位相减法求出T_n的表达式即可求出对应的m的最小值；
（3）根据（2）中数列{T_n }的通项公式，我们不妨构造函数f（n）=，n∈n^*，并判断出函数的单调性，再根据数列{T_n }的单调性与函数f（n）的单调性相反，易得到数列{T_n }的单调性．
点评：本题考查的知识点是数列与函数的综合应用，数列的求和，其中第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．