Question

20．设函数f（x）=$\frac{2}{x}$-2+2alnx．
（1）当a=1时，求函数f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上的最值；
（2）若f（x）＞-2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，即可得到最小值．求得端点处的函数值，可得最大值；
（2）求出f（x）的导数，讨论a=0，a＞0，a＜0，判断单调性，可得最小值，解不等式即可得到所求a的范围．

解答 解：（1）当a=1时，$f（x）=\frac{2}{x}-2+2lnx$，其定义域为（0，+∞），
则f′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{2}{x}$=$\frac{2（x-1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＜0，得0＜x＜1；令f′（x）＞0，得x＞1，
所以函数f（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）在区间$[\frac{1}{2}，2]$上的最小值为f（1）=0；
又$f（\frac{1}{2}）=2-2ln2$，f（2）=-1+2ln2，且$f（2）-f（\frac{1}{2}）=4ln2-3=ln16-3＜0$，
所以$f（2）＜f（\frac{1}{2}）$，
所以函数f（x）在区间$[\frac{1}{2}，2]$上的最大值为$f（\frac{1}{2}）=2-2ln2$．
（2）${f^'}（x）=-\frac{2}{x^2}+\frac{2a}{x}=\frac{2ax-2}{x^2}$，
①当a＞0时，令f′（x）＜0，得$x＜\frac{1}{a}$；令f′（x）＞0，得$x＞\frac{1}{a}$，
所以函数f（x）在区间$（0，\frac{1}{a}）$上单调递减，在区间$（\frac{1}{a}，+∞）$上单调递增．
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为$f（\frac{1}{a}）$；
若f（x）＞-2恒成立，则$f（\frac{1}{a}）＞-2$，即2a-2-2alna＞-2，即2a（1-lna）＞0，
又因为a＞0，所以1-lna＞0，解得a＜e，所以0＜a＜e；
②当a=0时，$f（x）=\frac{2}{x}-2＞-2$恒成立，所以a=0符合题意；
③当a＜0时，令f′（x）＜0，得$x＞\frac{1}{a}$；令f′（x）＞0，得$x＜\frac{1}{a}$，
所以函数f（x）在区间$（0，\frac{1}{a}）$上单调递增，在区间$（\frac{1}{a}，+∞）$上单调递减．
数形结合易知，一定存在某个x₀＞0，使得在区间（x₀，+∞）上，
函数$y=\frac{2}{x}$的图象在函数y=-2alnx的图象的下方，
即满足$\frac{2}{x}＜-2alnx$，即$\frac{2}{x}-2+2alnx＜-2$，即f（x）＜-2．
所以f（x）＞-2不恒成立，故a＜0不符合题意，舍去；
综上，实数a的取值范围是[0，e）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法和转化思想，运用函数的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．