Question

9．已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且f（x•y）=f（x）+f（y）
（1）求f（1）；
（2）证明：f（x）在定义域上是增函数；
（3）如果f（$\frac{1}{3}$）=-1，求满足不等式f（x）-f（x-2）≥2的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x•y）=f（x）+f（y），知f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），由此能求出f（1）．
（2）设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，则$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，故f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，由此导出f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$•x₁）=-f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0，从而能够证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）令x=$\frac{1}{3}$，y=1，得f（1）=0．令x=3，y=$\frac{1}{3}$，得f（3）=1．令x=y=3，得f（9）=2，故f（x）-f（x-2）≥f（9），f（x）≥f（9x-18），由此能求出x的范围．

解答 （1）解：∵f（x•y）=f（x）+f（y），
∴f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），
∴f（1）=0．
（2）证明：设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，则$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，
∴f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$•x₁）=f（x₁）-f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）-f（x₁）=-f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）解：令x=$\frac{1}{3}$，y=1得，f（$\frac{1}{3}$×1）=f（$\frac{1}{3}$）+f（1），∴f（1）=0．
令x=3，y=$\frac{1}{3}$得，f（1）=f（3×$\frac{1}{3}$）=f（3）+f（$\frac{1}{3}$），
∵f（$\frac{1}{3}$）=-1，∴f（3）=1．
令x=y=3得，f（9）=f（3）+f（3）=2，
∴f（x）-f（x-2）≥f（9），f（x）≥f（9x-18）
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-2＞0}\\{x≥9x-18}\end{array}\right.$，
解得2＜x≤$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查抽象函数的性质和应用，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．