Question

【题目】如图，正四面体ABCD的边长等于2，点A，E位于平面BCD的两侧，且，点P是AC的中点．

（1）求证：平面

（2）求BP与平面所成的角的正弦值

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）首先取的中点，连接，，，根据已知条件易证与相似，从而得到，再利用线面平行的判定证明即可.

（2）取中点，连接，根据题意易证平面，设与平面所成角为，与所成的角为，得到，再利用向量法即可得到答案.

（1）取的中点，连接，，，如图所示：

设在平面上的射影为，即平面，

，

所以为外心，

，同理可证在平面上的射影为，

即平面，所以三点共线，

即，所以四边形为平面四边形，

且为的中心，因为正四面体的边长等于，

所以，，

又，所以，

又，所以，

所以，所以，

而平面，平面，故平面.

（2）取中点，连接，如图所示：

因为正四面体，

所以，，又因为，

所以平面，

设与平面所成角为，

与所成的角为，则，

设为一组基底，

则，

所以，

.

因为，

所以.

又因为，，

所以，

即与平面所成角的正弦值为．