Question

已知等差数列{a_n}中，a₃=9，a₅=17，记数列{

1

an

}的前n项和为S_n，若S2n+1-Sn≤

m

10

，(m∈Z)，对任意的n∈N^*成立，则整数m的最小值为（　　）

A．5

B．4

C．3

D．2

Answer 1

分析：设公差为d，由a₃=9，a₅=17，得a₁，d的方程组，可解出a₁，d，从而得到a_n，S2n+1-Sn≤

m

10

，(m∈Z)，对任意的n∈N^*成立，等价于（S_2n+1-S_n）_max≤

m

10

，令b_n=S_2n+1-S_n，通过作差可判断{b_n}的单调性，根据单调性即可得到b_n的最大值．

解答：解：设公差为d，
由a₃=9，a₅=17，得

a1+2d=9 a1+4d=17

，解得a₁=1，d=4，
∴a_n=4n-3，
故S_n=1+

1

5

+

1

9

+…+

1

4n-3

，
令b_n=S_2n+1-S_n=

1

4n+1

+…+

1

8n+1

，
则b_n+1-b_n=[

1

4(n+1)+1

+…+

1

8(n+1)+1

]-[

1

4n+1

+…+

1

8n+1

]=

1

8n+5

+

1

8n+9

-

1

4n+1

＜0，
∴{b_n}是递减数列，
∴b₁最大，为

1

5

+

1

9

=

14

45

，
∴根据题意，S_2n+1-S_n≤

14

45

，∴

14

45

≤

m

10

，m≥

28

9

，
∴m的最小值为4．
故选B．

点评：本题考查等差数列的通项公式、数列与不等式的综合，考查恒成立问题，恒成立问题常转化为最值解决，数列的项的最值常利用作差解决．