Question

（2013•怀化三模）已知圆C₁：（x-1）²+y²=（

7 3

4

）²，圆C₂：（x+1）²+y²=（

3

4

）²动圆C与圆C₁内切，与圆C₂外切．记动圆C的圆心轨迹为曲线G，若动直线l与曲线G相交于P、Q两点，且S_△OPQ=

6

2

，其中O为坐标原点．
（Ⅰ）求曲线G的方程．
（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求|OM|-|PQ|的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用两圆相切的性质和椭圆的定义即可得出；
（II）分类讨论：①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+t，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式和三角形的面积计算公式即可得出|OM|-|PQ|的取值情况．②当PQ⊥x轴时，设直线PQ的方程为x=m，(-

3

＜m＜

3

，且m≠0)．与椭圆的方程联立得到弦长|PQ|，再利用三角形的面积即可得出|OM|-|PQ|的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得|GC1|+|GC2|=

7 3

4

+

3

4

=2

3

＞|C1C2|=2，
∴动圆C的圆心轨迹为以原点O为中心，以C₁（-1，0），C₂（1，0）为焦点的椭圆，且2a=2

3

，2c=2，
解得a=

3

，c=1，∴b=

a2-c2

=

2

．
∴曲线G的方程为

x2

3

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+t，联立

y=kx+t 2x2+3y2=6

，
化为（2+3k²）x²+6ktx+3t²-6=0．
∵直线l与椭圆相交于两点，∴△=36k²t²-12（2+3k²）（t²-2）＞0，化为3k²+2-t²＞0．（*）
∴x1+x2=

-6kt

2+3k2

，x1x2=

3t2-6

2+3k2

．
∴|PQ|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 36k2t2 (2+3k2)2 - 4(3t2-6) 2+3k2 ]

=

2 3 (1+k2)(4+6k2-2t2)

2+3k2

．
原点O到直线l的距离d=

|t|

1+k2

，
∵S_△OPQ=

6

2

=

1

2

|QP|•d=

1

2

×

2 3 (1+k2)(4+6k2-2t2)

2+3k2

×

|t|

1+k2

，
化为

2

2

=

4+6k2-2t2

2+3k2

•

|t|

1+k2

．化为2t²=2+3k²．（**）
设点M（x，y），则x=

x1+x2

2

=

-3kt

2+3k2

，y=k•

-3kt

2+3k2

+t=

2t

2+3k2

．
∴M(

-3kt

2+3k2

，

2t

2+3k2

)．
∴|OM|-|PQ|=

( -3kt 2+3k2 )2+( 2t 2+3k2 )2

-

2 3 (1+k2)(4+6k2-2t2)

2+3k2

，
把（**）代入上式得
|OM|-|PQ|=

3 2 - 1 2t2

-

4+ 2 t2

＜

3 2

-2=

6

2

-2．
②当PQ⊥x轴时，设直线PQ的方程为x=m，(-

3

＜m＜

3

，且m≠0)．
联立

x=m 2x2+3y2=6

，解得y=±

6-2m2 3

，
∴|PQ|=2

6-2m2 3

．
∴S△OPQ=

1

2

|PQ|•|m|=

6

2

，
∴

1

2

×2

6-2m2 3

×|m|=

6

2

，
解得m2=

3

2

．
∴|OM|-|PQ|=

6

2

-2．
综上可知：|OM|-|PQ|的最大值为

6

2

-2．

点评：熟练掌握两圆相切的性质和椭圆的定义、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式和三角形的面积计算公式、分类讨论的思想方法等是解题的关键．