【题目】已知椭圆.
(1)若椭圆的离心率为,求的值;
(2)若过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点,在轴上是否存在点,使得 若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)=;(2)存在点 ,使得 .
【解析】
(1)由a2=2,b2=n,所以c2=2-n,又,得n
(2)若存在点M(m,0),使得∠NMA+∠NMB=180°,
则直线AM和BM的斜率存在,分别设为k1,k2.等价于k1+k2=0.
依题意,直线l的斜率存在,故设直线l的方程为y=k(x+2).与椭圆方程联立,利用△>0.求出.设A(x1,y1),B(x2,y2),利用韦达定理,通过令,求出m.
解:(1) 因为 ,,所以 .
又 ,所以有 ,得 .
(2)若存在点 ,使得 ,
则直线 和 的斜率存在,
分别设为 ,,且满足 .
依题意,直线 的斜率存在,故设直线 的方程为 .
由 得 .
因为直线 与椭圆 有两个交点,所以 .
即 ,解得 .
设 ,,则 ,,
,.
令 ,即 ,
即 ,
当 时,,
所以 ,化简得,,所以 .
当 时,检验也成立.
所以存在点 ,使得 .
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【题目】如图,椭圆E: 的左焦点为F1 , 右焦点为F2 , 离心率e= .过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8.
(Ⅰ)求椭圆E的方程.
(Ⅱ)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=AB=1,AD=2,E为BC的中点,点M,N分别为棱DD1 , A1D1的中点.
(1)求证:平面CMN∥平面A1DE;
(2)求证:平面A1DE⊥平面A1AE.
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【题目】已知函数f(x)=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直,函数g(x)=f(x)+ x2﹣bx.
(1)求实数a的值;
(2)若函数g(x)存在单调递减区间,求实数b的取值范围;
(3)设x1 , x2(x1<x2)是函数g(x)的两个极值点,若b≥ ,求g(x1)﹣g(x2)的最小值.
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【题目】已知两动圆F1:(x+ )2+y2=r2和F2:(x﹣ )2+y2=(4﹣r)2(0<r<4),把它们的公共点的轨迹记为曲线C,若曲线C与y轴的正半轴的交点为M,且曲线C上的相异两点A,B满足: =0.
(1)求曲线C的方程;
(2)证明直线AB恒经过一定点,并求此定点的坐标;
(3)求△ABM面积S的最大值.
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【题目】设数列{an}的前n项和为Sn , 满足(1﹣q)Sn+qan=1,且q(q﹣1)≠0.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若S3 , S9 , S6成等差数列,求证:a2 , a8 , a5成等差数列.
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